MATEMATIKA

SEGITIGA PASCAL

BANGUN RUANG

PITHAGORAS

DIAGRAM

Rabu, 20 November 2013

Teori Bilangan

3.1. Keterbagian

Kita telah mengetahui bahwa 13 dibagi 5 hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis sebagai :

$\frac{13}{5} = 2 + \frac {3}{5}$ atau 13 = 2 x 5 + 3

Secara umum, apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga :

a = qb + r , 0 < r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “a dibagi dengan b”. Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi b dan ditulis b|a. Untuk a tidak habis dibagi b ditulis b ditulis b ł a.

Sifat-sifat keterbagian :

a|b dan b|c maka a|c
ab|c maka a|c dan b|c
a|b dan a|c maka a|(bx + cy) untuk sembarang bilangan bulat x dan y.

Di sini akan dibuktikan sifat (1). Pembuktian sifat (2) dan (3) diserahkan kepada pembaca.

Bukti sisfat (1)

a|b maka b = ka

b|c maka c = lb = l (kl)a maka a|c.

Di bawah ini adalah kaidah-kaidah menentukan keterbagian suatu bilangan yang cukup besar.

Keterbagian oleh 2″

Suatu bilangan habis dibagi 2ⁿ jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2ⁿ.

A₁. Untuk n = 1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.

A₂. Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4

A₃. Untuk n = 3 berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.

Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah A₁. Pembuktian kaidah A₂ dan A₃ diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah A₁

Misalkan bilangan itu :

a = …a₃ a₂ a₁ a₀

= 10(a₃ a₂ a₁) + a₀

Karena 10 (….a₃ a₂ a₁) habis dibagi 2 maka agar a habis dibagi 2 maka haruslah a₀ habis dibagi 2.

Contoh soal 1

Tentukan apakah 173332 habis dibagi oleh :

a). 2 b). 4 c). 8

pembuktian :

a). Karena 2|2 maka 2|173332

b). Karena 4|32 maka 4|173332

c). Karena 8 ł 332 maka 8 ł 173332

Keterbagian 3, 9, dan 11

Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah a = a_n a_n-1 a_n-2 … a₁ a₀.

B₁. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya (a_n + a_n-1 + … + a₁ + a₀) habis dibagi 3

B₂. Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-nagkanya (a_n + a_n-1 + … + a₁ + a₀) habis dibagi 9

B₃. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya (a_n – a_n-1 + a_n-2 + … ) habis dibagi 11

Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah B₁. Pembuktian kaidah B₂ dan B₃ diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah B1.

a = a_n a_n-1 … a₁ a₀

= a_n X 10ⁿ + a_n-1 X 10^n-1 + … + a₁ X 10 + a₀ X 10⁰

= a_n X (9 + 1)ⁿ + a_n-1 X (9 + 1)^n-1 + … + a₁X (9 + 1) + a₀

= a_n[9ⁿ + n . 9^n-1 + ... + 9n] + a_n + a_n-1 [9^n-1 + (n-1)9^n-2 + ... + 9(n-1)] + a_n-1 + … + 9a₁ + a₁ + a₀

Dapat dipilih menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah jumlah semua suku yang merupakan kelipatan 9 yang dilambangkan sebagai K(a) dan bagian kedua adalah jumlah angka-angka :

Q(a) = a_n + a_n-1 + …+ a₁ + a₀

Maka : a = K(a) + Q(a)

Karena 3 | K(a) maka agar 3|a haruslah 3 | Q(a)

Contoh soal 2

Tentukan apakah 1815 habis dibagi :

a). 3 b). 9 c). 11

penyelesaian :

jumlah angka-angka 1815 = 1 + 8 + 1 + 5 = 15

a). Karena 3|15 maka 3|1815

b). Karena 9 ł 15 maka 9 ł 1815

c). Jumlah-silang tanda-ganti angka-angka bilangan 1815 = 1 – 8 + 1 – 5 = -11

Karena 11|-11 maka 11|1915

Contoh soal 3

Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b

Penyelesaian :

72 = 8 x 9. Karena itu 8|a1989b b = 6

Juga 9|a + 1 + 9 + 8 + 9 + b = a = 33 a = 3

BILANGAN KHUSUS

Di pasal ini, kita akan membahas beberapa bilangan khusus yakni bilangan prima, bilangan komposist dan bilangan kuadrat.

Bilangan Prima dan Komposit

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan perkataan lain, bilangan prima hanya mempunyai dua faktor. Misalnya 2, 3, 5, 7, 11, … bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk). Misal 4, 6, 8, 9, …

Teorema : (Topik Erotosthenes)

Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p|n dan p .

Teorema di atas mempunyai makna yang sama dengan “jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p maka n adalah bilagan prima”.

Contoh soal 4

Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk.

a). 157 b). 221

penyelesaian :

a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada dari bilangan-bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11 yang dapat dibagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima.

b). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221 maka 221 merupakan bilangan komposit.

Contoh soal 5

Tentukan pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga a² – b² = 1991.

Penyelesaian :

Karena 1991 merupakan bilangan komposit (1991 = 11 X 181) maka :

A² – b² = 1991

(a – b)(a + b) = 1991 (1 X 1991 atau 11 X 181) atau (a – b)(a + b) = 11 X 181

Kemungkinan I Kemungkinan II

a + b = 1991 a + b = 181

a - b = 1 + a – b = 11 +

2a = 1992 2a = 192

a = 996 a = 96

b = 995 b = 85

Jadi pasangan-pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi a² – b² = 1991 adalah (996, 995) dan (96, 85)

Bilangan kuadrat

Ada tiga hal penting yang perlu duketahui tentang bilangan kuadrat, yaitu :
1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, dan 9
2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1
3. Jika p bilangan prima dan p|n² maka p²|n²

Contoh soal 6

Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah :

k, k + 1, k + 2, 3k, k + 3

penyelesaian :

Angka pertama adalah k maka k yang mungkin adalah 1, 2, 3, … , 9 ……………………… (1)
Angka ketiga adalah 3k maka k yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3 …………………………….. (2)

Dari (1) dan (2), maka k yang mungkin terjadi 1, 2, 3.
Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 233465, 34596.
Selanjutnya 12334 dibagi 4 bersisa 2 berarti 12334 bukan bilangan kuadrat.
5 karena 4693 tidak lagi dapat dibagi 5 maka 23465 bukan bilangan kuadrat.

2    34596 bilangan 334596 = 2² . 3² . 31², berarti 34596 merupakan bilangan kuadrat.

2    17298

3     8649

3     2883

31     961

31     31

1

Jadi bilangan kuadrat yang dicari adalah 34596.

GCD DAN ALGORITMA EUCLID

Jika a dan b sembarang bilangan bulat dan d bilangan bulat yang memenuhi sifat d|a dan d|b, maka d disebut pembagi persekutuan dari a dan b. Nilai terbesar dari d disebut pembagi persekutuan terbesar Greater Common Divisor (GCD) dan ditulis dengan GCD (a, b)

Misal : GCD (8, 12) = 4

Pembagi persekutuan terbesar dapat juga ditentukan dengan menggunakan Algoritma Euclede.

Teorema (Algoritma Euclede)

Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > b > 0, maka GCD (a, b) bisa dicari dengan mengulang algoritma pembagian.

a = q₁b + r₁0 < r₁ < b

b = q₂ r₁ + r₂ 0 < r₂ < r₁

r₁ = q₃ r₂ + r₃0 < r₃ < r₂

r_n-2= q_n r_n-1 + r_n 0 < r_n-1< r_n-2

r_n-1 = q_n+1 r_n + 0

maka r_n, sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol merupakan GCD (a, b).

Contoh Soal 7

Tentukan GCD (4840, 1512)

Penyelesaian :

4840 = 3 X 1512 + 304

1512 = 4 X 304 + 296

304 = 1 X 296 + 8

296 = 37 X 8 + 0

Jadi : GCD (4840, 1512) = 8

Jika GCD (a, b) = c maka ada bilangan bulat m dan n sehingga am + bn = c. Mencari m dan n digunakan AlgoritmaEuclede.

Seperti pada contoh soal 7 di dapat bahwa GCD (4840, 1512) = 8, maka ada bilangan bulat m dan n segingga 4840m + 1512n = 8. Mencari m dan n dimulai dari baris kedua dari bawah pada Algoritma EucledeI.

8 = 304 – 296

= 304 – (1512 – 4 X 304) = -1512 + 5 X 304

= -1512 + 5 (4840 – 3 X 1512)

8 = 5 X 4840 – 16 X 1512 maka m = 5 dan n = -16

Jika GCD (a, b) = 1 maka a dan b dikatakan saling prima.

Contoh soal 8

Buktikan bahwa jika GCD (a, b) = 1 dan a|bc, maka a|c

Bukti :

Karena GCD (a, b) = 1, maka terdapat bilangan-bilangan m dan n sehingga 1 = ma + nb.

Diketahui a|bc, berarti terdapat bilangan bulat k sehingga bc = ak.

Dengan menggandakan persamaan 1 = ma + nb dengan c didapat :

c = mac + nbc

c = mac + nak

c = a(mc + nk) Û a|c

Contoh soal 9

Jika GCD (a, m) = GCD (b, m) = 1, maka buktikan bahwa GCD (ab, m) = 1.

Bukti :

1 = ax₀ + my₀

= bx₁ + my₁

Sehingga : (ax₀ + bx₁) = (1 – my₀)(1 – my₁)

= 1 – my₁ – my₀ + m²y₀y₁

= 1 – m (y₁ + y₀ – my₀y₁)

Tulis : y₁ + y₀ – my₀y₁ = y₂, maka :

ab (x₀x₁) + m(y₂) = 1 maka GCD (ab, m) = 1

KONGRUEN

Diberikan bilangan bulat n yang lebih besar dari 1 dan bilangan-bilangan bulat a dan b. Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n, dituliskan dengan a º b (mod n) jika a dan b memberikan sisa yang sama apabila dibagi oleh n.

Contoh soal 10

Jika a dan b kongruen modulo m, buktikan bahwa selisishnya dapat dibagi m.

Bukti :

a º b (mod m) Þ a = q₁m + r dan b = q₂m + r

a – b = (q₁ – q₂)m, akibatnya m | (a – b)

Contoh soal 11

Buktikan bahwa (an + b)^m = b^m mod (n)

Bukti :

Membuktikan (an + b)^m
º b^m mod (n) sama artinya dengan membuktikan ada bilangan bulat k sehingga (an + b)^m – b^m = kn.

Bukti :

(an + b)^m – b^m = (an)^m + m(an)^m-1. b + … + m(an)b^m-1 + b^m – b^m

= {a(an)^m-1 + am(an)^m-2 + … + am(b)^m-1}n

= kn (terbukti )

Rumusan pada contoh nomor 11 di atas dapat digunakan menentukan sisa pembagian bilangan yang cukup benar.

Contoh soal 12

Tentukan angka satuan bilangan 1997¹⁹⁹¹.

Penyelesaian :

Angka satuan 1997¹⁹⁹¹ º sia pembagian 1997¹⁹⁹¹ oleh 10

º (199 X 10 + 7)¹⁹⁹¹ mod (10)

º 7¹⁹⁹¹ mod (10)

º 7^{4 X 497 + 3} mod (10)

º (7⁴)⁴⁸⁷ X 7³ mod (10)

º (2421)⁴⁹⁷ X 343 mod (10)

º 1 X 3 mod (10)

º 3 mod (10)

Jadi angka satuan 1997¹⁹⁹¹ adalah 3.

Contoh soal 13

Tentukan sisa jika 3¹⁹ dibagi oleh 14.

Penyelesaian :

3¹⁹ mod (14) º 3^{3 X 6 + 1} mod (14)

º (3³)⁶ X 3¹ mod (14)

º (2 X 14 – 1)⁶ X 3 mod (14)

º (-1)⁶ X 3 mod (14)

3¹⁹ º 3 mod (14)

Jadi sisa pembagian 3¹⁹ oleh 14 adalah 3.

Contoh soal 14

Tentukan sisa 3¹⁹⁹⁰ jika dibagi 41.

Penyelesaian :

31990 m od (41) º 3^{4 X 497 + 2} mod (41)

º (3⁴)⁴⁹⁷ X 3² mod (41)

º (2 X 41 – 1)⁴⁹⁷ X 9 mod (41)

º (-1)⁴⁹⁷ X 9 mod (41)

º -9 mod (41)

º (41 – 9) mod (41)

º 31 mod (41)

Jadi sisa 3¹⁹⁹⁰ dinagi oleh 41 adalah 32.

PERSAMAAN DIOPHANTINE

Suatu persamaan berbentuk ax + by = c dengan a, b, c bilangan-bilangan bulat dan a, b dua-duanya bukan nol disebut persamaan liner diophantine jika penyelesaiannya dicari untuk bilangan-bilangan bulat.

Teorema :

Persamaan liner diophantine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbatas dari a dan b membagi c.

Bukti :

Misalkan d = GCD (a, b) dan d|c

d|c Û ada k bulat sehingga c = kd.

d|GCD (a, b) Û ada bilangan bulat m dan n sehingga am + bn = d.

a(km) + b (kn) = kd

a(km) + b (kn) = c

berarti x = mk dan y = nk

Teorema :

Jika d = GCD (a, b) dan x₀ , y₀ penyelesaian persamaan diophantine ax + by = c, maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah :

x = x₀ + dan y = y₀ – dengan k parameter bilangan bulat.

Contoh soal 15

Tentukan penyelesaian umum persamaan diophantine 738x + 621y = 45

Penyelesaian :
Mencari GCD (738, 621) dengan Algoritma Euclide.

738 = 1 X 621 + 117

621 = 5 X 117 = 36

117 = 3 X 36 + 9

36 = 4 X 9 + 0

Jadi GCD (738, 621). Karena 9|45 maka persamaan di atas mempunyai penyelesaian.

Menentukan 9 sebagai kombinasi 738 dan 621.

9 = 117 – 3 . 36

= 117 – 3 (621 – 5 X 117) = -3 X 621 + 16 X 117

= -3 X 621 + 16 (738 – 621)

9 = 16 X 738 – 19 X 621

Kalikan kedua ruas dengan 5

45 = 80 X 738 – 45 X 621

Sehingga didapat x₀ = 80, y₀ = -95

Penyelesaian umumnya adalah :

x = 80 +

x = -95 –

Contoh soal 16

Tentukan x dan y bulat positif yang memenuhi persamaan 7x + 5y = 100

Penyelesaian :

GCD (7, 5) = 1. Karena 1|100 maka persamaan mempunyai penyelesaian.

Dengan mudah bisa ditulis.

1 = 3 . 7 – 4 . 5

100 = 7 X 300 + 5 X (-400). Maka x₀ = 300, y₀ = -400

Penyelesaian umumnya adalah :
x = 300 + 5k

Y = -400 – 7k

Karena yang diinginkan penyelesaian positif, maka harus dipenuhi kedua pertidaksamaan :

300 + 5k > 0

-400 – 7k > 0

Yaitu : 60 < k < -57

Jadi persamaan diophantine 7x + 5y = 100 mempunyai tepat dua penyelesaian positif yaitu untuk k = -59, dan k = -58 maka x = 5, y = 13 dan untuk k -58 maka x = 10, y = 6.

SOAL LATIHAN BAB III

Tentukan bilangan empat digit abcd yang memenuhi 4 X (abcd) = dcba
Penyelesaian :
4 X (abcd) = dcba (empat digit), maka nilai a yang mungkin adalah 1 atau 2
4 X (abcd) = … a (beersatuan genap) maka a tidak mungkin 1. Jadi haruslah a = 2. Agar a = 2 maka haruslah d = 8.

3

2bc8

4 x

8cb2

4 X b < 10 maka b yang mungkin 0, 1, 2

4 X c + 3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2. Jadi haruslah b = 1

Karena b = 1 maka haruslah c = 7.

Dengan demikian bilangan yang dimaksud adalah 2178.

Jika ditulis dalam bilangan basis 10, tentukan banyaknya angka bilangan 4¹⁶ X 5²⁵.
Penyelesaian :
4¹⁶ X 5²⁵ = 2³² X 5²⁵
= 2⁷ X 2²⁵ x 5²⁵
= 128 X (2 X 5)²⁵
= 128 X 10²⁵
= 1,28 X 10²⁷
Banyaknya angka dari 4¹⁶ X 5²⁵ = 28 angka.
Tentukan banyaknya angka nol terakhir dari 1000!
Penyelesaian :

Angka satuan ysng menghasilkan angka nol adalah kelipatan 5 dikali kelipatan 2 yakni sebanyak .
Angka puluhan yang menghasilkan angka nol sebanyak .
Angka ratusan yang menghasilkan angka nol sebanyak
Jadi banyak angka nol terakhir dari 1000! Adalah 200 + 40 + 8 + 1 = 249

Tentukan dua angka terakhir dari bilangan 3¹²³⁴
Penyelesaian :
Dua angka terakhir 3¹²³⁴ = sisa pembagian 3¹²³⁴ o leh 100.

3¹²³⁴ mod (100) º (3⁵)²⁰⁶ mod (100)

º (243)²⁰⁶ X 3⁴ mod (100)

º (43)^{2 X 103} X 81 mod (100)

º (1849)103 X 81 mod (100)

º (49)^{2 X 51 + 1}X 81 mod (100)

º (2401)⁵¹ X 49 X 81 mod (100)

º 1⁵¹ X 3969 mod (100)

º 69 mod (100)
Jadi dua angka terakhir dari bilangan 3¹²³⁴ adalah 69.
Tunjukkan bahwa 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ habis dibagi 7
Penyelesaian :
3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ mod 97) = 3¹⁰⁵ + (7 – 3)¹⁰⁵ mod (7)
= 3¹⁰⁵ + (-3)¹⁰⁵mod (7)
= 0 mod (7)
Kesimpulan : 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ habis dibagi 7
Untuk n bilangan asali, buktikan bahwa n³ + 5n habis dibagi 6.
Penyelesaian :
n³ + 5n = n³ – n + 6n
= (n – 1)n (n + 1) + 6n
Karena (n – 1)n (n + 1) merupakan tiga bilangan bulat yang berurutan, maka (n – 1)n (n – 1) habis dibagi 6. Dengan demikian n³ + 5n habis dibagi 6.
Jika n > 4 merupakan bilangan komposit, maka tunjukkan bahwa n|(n – 1)
Penyelesaian :
Karena n bilangan komposit, maka trdapat bilangan bulat n_1,n₂ sehingga n = n₁ n₂ dan n₁, n₂ > 1. Jelas bahwa n₁, n₂ < n. Dua kasus yang mungkin adalah :

n₁ = n₂, maka kedua bilangan termasuk ke dalam perkalian
(n – 1)! = 1, 2 … (n – 1)
Akibatnya n|(n – 1)!
n₁ = n₂, maka n = n₁². Karena n > 4 maka n¹ > 2. Dengan demikian n = n₁² = n¹ n¹ > 2n, hal ini mengakibatkan n¹ dan 2n₁ kurang dari n masuk ke dalam perkalian
(n – 1) | = 1, 2 … (n – 1)
Jadi : 2n₁² | (n – 1)! Maka n|(n – 1)!

Jika n bilangan bulat, tunjukkan bahwa n⁴ – 20n² + 4 bukan bilangan prima.
Penyelesaian :
n⁴ – 20n² + 4 = n⁴ – 4n² + 4 – 16n²
= (n² – 2)² – 16n²
= (n² – 2 – 4n)(n²– 2 + 4n)
Misalkan : n²- 2 – 4n = 1
n² – 4n – 3 = 0
n_{1 . 2} =
Jika n bulat maka n² – 2 – 4n = 1
Dengan cara yang sama didapat bahwa n² – 2 – 4n 1 dan n² – 2 – 4n 1.
Kesimpulan : jika n bulat maka n⁴ – 20n² + 4 bukan bilangan prima.
Jika p > 3 bilangan prima, tunjukkan bahwa 24|p² – 1
Penyelesaian :

Karena p > 3 bilangan prima maka p – 1 dan p + 1 bilangan genap, yang satunya dapat dibagi 2 dan satunya lagi dapat dibagi 4; akibatnya 8|p² – 1 ……………………………………………….. (1)

Sekarang perhatikan bahwa salah satu dari bilangan p – 1, p, p + 1 dapat dibagi 3. Karena p prima yang lebih besar dari 3 maka 3 ł p; akibatnya 3|p² – 1 ……………………………………… (2)

Karena 3 dan 8 saling prima maka dari (1) dan (2) didapat 24|p² – 1.
Buktikan bahwa hanya ada satu nilai n yang membuat 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ kuadrat sempurna.
Penyelesaian :
Misalkan 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = m²
2ⁿ = m² – 2⁸ (1 + 2³)
= m² – 2⁸ . 9
2ⁿ = (m – 48)(m + 48)
Menurut teorema Faktorisasi Tunggal, maka ada bilangan bulat tidak negatif s dan t sehi8ngga ;
M – 48 = 2^s. m + 48 = 2^t, s + t = n
Jadi :
2^s + 48 = 2^t – 48
2^t – 2^s = 96 Þ 2^s (2^{t – s} – 1) = 2⁵ X 3
S = 5 dan r = 7
maka n = s + t = 12

bangun ruang dan bangun datar

23.42

Unknown

BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG

bangun datar dan bangun ruang termasuk kedalam materi pelajaran Matematika untuk Kelas 5 Sekolah Dasar. Disini siswa mulai diperkenalkan pada berbagai macam bentuk bangun ruang dan bangun datar.

Dalam materi ini ada beberapa materi yang akan dibahas yaitu jenis segitiga, cara menggambar segitiga, rumus persegi panjang, rumus segitiga, rumus trapesium, ciri-ciri lingkaran, bangun datar belah ketupat, ciri-ciri layang-layang, bangun datar elips, jenis prisma, bangun ruang balok, bangun ruang sederhana limas, ciri-ciri kerucut, ciri-ciri tabung, jaring-jaring bangun ruang, jaring-jaring balok, jaring-jaring prisma segitiga, jaring-jaring limas segitiga, jaring-jaring limas segiempat, jaring-jaring tabung, jaring-jaring kerucut.

Materi-materi Bangun Datar dan Bangun Ruang diatas dibahas selengkapnya dibawah ini :

Itulah materi pembelajaran Matematika kelas 5 sekolah dasar tentang Materi Bangun Datar dan Bangun Ruang. Materi ini bisa anda download dalam bentuk PDF dengan mengklik logo PDF di akhir artikel ini.

Semoga materi pelajaran Materi Bangun Datar dan Bangun Ruang ini dapat memberikan manfaat bagi anda semua. Jangan lupa baca juga artikel materi pelajaran lainnya dari Pusat Materi.

bangun datar

23.39

Unknown

Bangun datar

Bangun datar merupakan sebutan untuk bangun-bangun dua dimensi.

Macam bangun datar

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.
Nama-nama Bangun Datar

Persegi Panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku.
Persegi, yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.
Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang tidak segaris.. macam macamnya: segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga siku-siku, segitiga sembarang
Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar.
Trapesium, yaitu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar.
Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya.
Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.
Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Rumus bangun datar

Rumus Bangun Datar

Rumus Persegi

Luas = s x s = s² ( Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2, 'sudah dibuktikan' )

Keliling = 4 x s

dengan s = panjang sisi persegi

Rumus Persegi Panjang

Luas = p x l

p = Luas : lebar

l = Luas : panjang

Keliling = 2p + 2l = 2 x (p + l)

dengan p = panjang persegi panjang, dan l = lebar persegi panjang

Rumus Segitiga

Luas = ½ x a x t

dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga

Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A² + B² = C²)

Rumus Jajar Genjang

Luas = a x t

dengan a = panjang alas jajargenjang, dan t = tinggi jajargenjang

Rumus Trapesium

Luas = ½ x (s1 + s2) x t

dengan s1 dan s2 = sisi-sisi sejajar pada trapesium, dan t = tinggi trapesium

Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r) ²

= πr²

Sifat-sifat bangun datar

Layang-layang = terbagi atas 2 digonal yang berbeda ukurannya
Persegi = semua sisi-sisinya sama panjang, semua sudut sama besar, kedua diagonal berpotongan tegak lurus dan sama panjang.
Persegi panjang = sisi yang behadapan sama panjang, semua sudut sama besar
Belah ketupat = semua sisi-sisinya sama panjang, sudut yang berhadapan sama besar, kedua diagonalnya tidak sama panjang dan berpotongan tegak lurus.
Jajar genjang = sisi yang berhadapan sama panjang, sudut yang berhadapan sama besar
Lingkaran = memiliki simetri lipat dan simetri putar yang tak terhingga jumlahnya

lingkaran

23.38

Unknown

Lingkaran

Elemen-elemen suatu lingkaran.

Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :

Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
  merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
  merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
  merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.
3. Busur (B)
  merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
  merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
  merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
  merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
  merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
  merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)
  merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!$

dengan $R\!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(x_0,y_0)\!$ adalah koordinat pusat lingkaran.
Jika pusat lingkaran terdapat di $(0,0) \!$ , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

$x^2 + y^2 = R^2 \!$

Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk

$x^2 + Ax + y^2 + By + C = 0 \!$

dengan $\sqrt{\frac{A^2 + B^2}{4} - C} \!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(- \frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) \!$ adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

$x = x_0 + R \cos(t) \!$

$y = y_0 + R \sin(t) \!$

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

$A = \pi R^2 \!$

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

$dA = rd\theta\ dr$

dalam koordinat polar, yaitu

$\int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} rd\theta\ dr = \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!$

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam $R_1\!$ dan jari-jari luar $R_2\!$ .

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

$A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!$

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam $R_1\!$ dan jari-jari luar $R_2\!$ , yaitu

$A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!$

di mana untuk $R_1 = 0\!$ rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

$A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!$

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

$K = 2\pi R\!$

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

$L = R \theta \!$

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

$dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!$

di mana digunakan

$y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!$

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda $\pm$ mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

π(Pi)

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

$\pi = \frac K D$

peluang, kombinasi dan permutasi

23.33

Unknown

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga

Permutasi k unsur dari n unsur

adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis

atau

.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk

Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

Contoh :
Diketahui himpunan

.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

Catatan :

dibaca “ Kejadian A atau B dan

dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku

Jika

. Sehingga

Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika

adalah peluang terjadinya A dan B, maka

Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :

5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap

dan setiap

maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :