SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
Prestasi itu diraih bukan didapat !!!
SOLUSI SOAL
Bidang Matematika
Bagian Pertama
Disusun oleh : Eddy Hermanto, ST
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
BAGIAN PERTAMA
1. 2008 = 23 ⋅ 251
Banyaknya pembagi positif dari 2008 = (3 + 1)(1 + 1)
∴ Banyaknya pembagi positif dari 2008 = 8.
2. Banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA adalah !2!2!3!10⋅⋅ = 151200
Banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan syarat kedua T berdekatan adalah sama dengan banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMAIKA, yaitu !2!3!9⋅ = 30240
Banyaknya cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan adalah = 151200 − 30240 = 120960.
∴ Banyaknya cara menyusun = 120960.
3. Karena 0 < b < a maka baba−+ akan bernilai positif. 226262222222=−+=−+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+abababababbaabbababa
∴ 2=−+baba
4. Misalkan segitiga ABC dimaksud adalah seperti pada gambar berikut
Misalkan juga AC = b
[ABC] = ½ ⋅ AC ⋅ 12 = ½ ⋅ AB ⋅ 4
b ⋅ 12 = AB ⋅ 4
AB = 3b
Misalkan juga BC = a dan panjang garis tinggi dari A adalah x dengan x bilangan asli.
[ABC] = ½ ⋅ a ⋅ x = ½ ⋅ 4 ⋅ 3b
a x = 12b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
Ada dua kemungkinan pemahaman terhadap pertanyaan pada soal. i) Yang ditanyakan adalah maks (x, 4, 12).
Akan dibuktikan bahwa x ≤ 12 sehingga panjang maksimum dari garis tinggi segitiga ABC adalah 12.
Andaikan bahwa x > 12.
Dari persamaan (1) akan didapat bahwa a < b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) Pada segitiga siku-siku ACF jelas bahwa AC = b > AF
Karena AB = 3b maka FB > 2b
Pada segitiga siku-siku BCF berlaku bahwa BC > FB
Karena BC = a < b sedangkan FB > 2b maka ketaksamamaan tidak mungkin terjadi. Kontradiksi dengan pengandaian awal.
Jadi, x ≤ 12.
Maka panjang maksimum garis tinggi segitiga ABC adalah 12.
ii) Yang ditanyakan adalah panjang maksimum dari garis tinggi yang ketiga dari segitiga ABC
• Andaikan 3b adalah sisi terpanjang
Berdasarkan ketaksamaan segitiga berlaku
3b < a + b
Maka 2b < a
Berdasarkan persamaan (1) maka
a x < 6a
Jadi, x < 6
* Jika x = 5 maka a = 512b
AC2 + BC2 = 22225169512bbb=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ < AB2
Jadi, jika x = 5 maka segitiga BC tumpul. Tidak memenuhi bahwa segitiga ABC lancip.
* Jika x = 4 maka a = 3b
Segitiga ABC sama kaki dengan BC = AB = 3b
Karena AB adalah sisi terpanjang maka segitiga BC lancip.
• Andaikan a adalah sisi terpanjang
3b < a
xa = 12b < 4a
x < 4
Karena x ≤ 4 maka tidak perlu lagi mencari nilai x maksimum.
Jadi, panjang maksimum garis tinggi yang ketiga dari segitiga ABC adalah 4.
∴ Dari dua kemungkinan ini Penulis lebih cenderung pada kemungkinan pertama yang sesua dengan kata-kata pada soal. Panjang maksimum garis tinggi dari segitiga ABC adalah 12.
5. Misalkan persamaan garis tersebut adalah y = mx + c
Misalkan juga garis memotong sumbu X di (p, 0) dan sumbu Y di (0, q) dengan p adalah bilangan prima dan q adalah bilangan bulat positif.
Karena garis memotong sumbu X di (p, 0) dan sumbu Y di (0, q) maka persamaan garis tersebut adalah cxpqy+−=.
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
Garis melalui (0, q) maka c = q. Jadi persamaan garis tersebut adalah qxpqy+−=
Karena garis melalui (4, 3) maka berlaku
3p = −4q + pq
(p − 4)(q − 3) = 12
* Jika p genap maka p = 2 sehingga q = −3. Tidak memenuhi q bulat positif.
* Jika p ganjil maka p − 4 ganjil. Nilai p − 4 yang mungkin memenuhi adalah ±1 atau ±3.
- Jika p − 4 = −1 maka p = 3 dan q = −9. Tidak memenuhi q bulat positif.
- Jika p − 4 = 1 maka p = 5 dan q = 15. Jadi persamaan garis adalah y = −3x + 15 yang melalui titik (4, 3)
- Jika p − 4 = −3 maka p = 1 yang tidak memenuhi bahwa p adalah bilangan prima.
- Jika p − 4 = 3 maka p = 7 dan q = 7. Jadi persamaan garis adalah y = −x + 7 yang melalui titik (4, 3)
Persamaan garis yang memenuhi adalah y = −3x + 15 dan y = −x + 7.
∴ Banyaknya garis yang memenuhi ada 2.
6. Perhatikan gambar. Diketahui dari soal ∠BAC = 45o.
Misalkan luas segitiga ABC = [ABC]
Dengan dalil pitagoras didapat :
AC2 = AD2 + 4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
AB2 = AD2 + 9 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
Persamaan (2) jumlahkan dengan (1) didapat
AB2 + AC2 = 2AD2 + 13 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)
[ABC] = ½ BC ⋅ AD
Karena BC = 5 maka AD = []52ABC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)
Pada segitiga ABC berlaku
BC2 = AB2 + AC2 − 2 AB AC cos 45o = AB2 + AC2 − 2 AB AC sin 45o
25 = 2 AD2 + 13 − 4[ABC] ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5)
Subtitusikan persamaan (4) ke (5)
[][]ABCABC4258122−=
(2[ABC] + 5)([ABC] − 15) = 0
Maka [ABC] = 15
∴ Luas segitiga ABC adalah 15.
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
7. Persamaan tersebut dapat diubah menjadi (3x2 + 1)(y2 − 10) = 507 = 3 ⋅ 132
Karena 3x2 + 1 bulat positif maka y2 − 10 juga bilangan bulat positif. Faktor positif dari 507 ada 6 yaitu 1, 3, 13, 39, 169 dan 507.
y2 − 10 adalah faktor dari 507 maka y2 = 11, 13, 23, 49, 179 atau 517 dan yang merupakan bilangan kuadrat sempurna hanya 49. Maka y2 = 49.
Sehingga 3x2 + 1 = 13.
∴ 3x2y2 = 12 x 49 = 588.
8. ()°°+°−°=°−°=°30tan45tan130tan45tan3045tan15tan 3333333333111331115tan++⋅+−=⋅+−=° 323315tan+=° ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
Dengan dalil cosinus BbAa∠=∠sinsin sehingga 32sinsin+==∠∠baBA ()BA∠+=∠sin32sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
Karena ∠C = 60o maka ∠A = 120o − ∠B
sin ∠A = sin (120o − ∠B) = sin 120o cos ∠B − cos 120o sin ∠B ()BBB∠+∠=∠+sin21cos321sin32 BB∠=∠⎟⎠⎞⎜⎝⎛+cos321sin323 oB15tan3233tan=+=∠
∴ Besarnya sudut B adalah 15o.
9. Karena banyaknya siswa = 100 orang sedangkan banyaknya siswa kelas II 50% lebih banyak dari siswa kelas III maka banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi = 60 orang sedangkan siswa kelas III = 40 orang.
Misalkan skor rata-rata kelas III adalah x maka skor rata-rata kelas II adalah 32x. 100403260100xx⋅+⋅=
x = 125
∴ Skor rata-rata siswa kelas III adalah 125.
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
10. Misalkan panjang AD = x dan panjang AE = y
Luas ΔABC = 21(5)(12) = 30 dan sin A = 135 serta cos A = 1312
Luas ΔADE = 21xy sin A = 15. Maka xy = 78.
Sesuai dalil cosinus pada ΔADE maka :
DE2 = x2 + y2 − 2xy cos A = x2 + y2 − 144
Dengan AM-GM maka
DE2 ≥ 2xy − 144 = 12
DE2 akan minimum sama dengan 12 jika x = y = 78
∴ DEminimum = 32
11. Misalkan ke-4 akar tersebut adalah x1, x2, x3 dan x4 dengan x1 = 2 dan x2 = 2008 = 5022.
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (x − x1) (x − x2) (x − x3) (x − x4) = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = −a yang merupakan bilangan rasional. Maka ada 2 kemungkinan nilai x3 dan x4.
• x3 = p − 2 − 5022 dan x4 = q untuk p dan q bilangan rasional.
x1x2x
3
x4 = d yang merupakan bilangan rasional. ( 2)(2 502 )(p − 2 − 2 502 )(q) = bilangan rasional untuk p, q rasional
4 p 251 − 4 251 − 2008 2 = bilangan rasional.
Maka tidak ada p rasional yang memenuhi
• x3 = p − 2 dan x4 = q − 5022 untuk p dan q bilangan rasional.
x1x2x
3
x4 = d yang merupakan bilangan rasional. ( 2)(2 502 )(p − 2)(q − 2 502 ) = bilangan rasional
4 pq 251 − 2008 p 2 − 4q 502 + 4016 = bilangan rasional
Kesamaan di atas akan terpenuhi hanya jika p = q = 0 sehingga x3 = −2 dan x4 = −2008
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (x − 2) (x − 2008) (x + 2) (x + 2008)
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (x2 − 2)(x2 − 2008) = x4 − 2010x2 + 4016
Maka a = 0, b = −2010, c = 0 dan d = 4016
a + b + c + d = 0 − 2010 + 0 + 4016
∴ Nilai a + b + c + d adalah 2006.
12. Misalkan [ABC] menyatakan luas ΔABC.
Berdasarkan dalil cosinus, cos ∠A = ACABBCACAB⋅⋅−+2222.
Maka ctg ∠A = AA∠∠sincos = AACABBCACAB∠⋅⋅⋅−+sin2222 = []ABCBCACAB4222−+
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
Dengan cara yang sama didapat :
ctg ∠B = []ABCACBCAB4222−+ dan ctg ∠C = []ABCABBCAC4222−+
ctg ∠A + ctg ∠B + ctg ∠C = []ABCBCACAB4222++ = 416
∴ ctg ∠A + ctg ∠B + ctg ∠C = 4.
13. f(x) = x2 + 4
f(xy) = x2y2 + 4
f(y − x) = (y − x)2 + 4
f(y + x) = (y + x)2 + 4
f(xy) + f(y − x) = f(y + x)
x2y2 + 4 + (y − x)2 + 4 = (y + x)2 + 4
x2y2 + y2 + x2 − 2xy + 4 = y2 + x2 + 2xy
x2y2 + 4 = 4xy
(xy − 2)2 = 0
Jadi xy = 2
Dengan ketaksamaan AM-GM maka 222=≥+xyyx
∴ Nilai minimum dari x + y adalah 22
14. Jelas bahwa n harus genap.
Misalkan n = 2y ⋅ p1x1 ⋅ p2x2 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ pkxk dengan pi untuk i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k semuanya bilangan prima ganjil dan xi untuk i = i, 2, ⋅⋅⋅, k semuanya bilangan bulat tak negatif serta y asli.
Karena salah satu faktor dari n adalah 2 maka semua bilangan genap ≤ n tidak akan relatif prima dengan n. Banyaknya bilangan genap ≤ n ada tepat sebanyak 2n dan banyaknya bilangan ganjil kurang dari n juga ada sebanyak 2n.
Tetapi untuk semua 1 < pi < n dengan i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k juga merupakan faktor dari n yang mengakibatkan semua 1 < pi < n dengan i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k tidak akan relatif prima dengan n.
Maka agar terpenuhi ada tepat 2n bilangan kurang dari n dan relatif prima terhadap n maka n tidak boleh memiliki faktor ganjil selain 1. Jadi pi = 1 untuk semua i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k.
Maka n = 2y untuk suatu bilangan asli y.
Karena n < 2008 maka 2y < 2008. Jadi y ≤ 10.
Maka nilai n yang memenuhi adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
∴ Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi ada 10.
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
15. Misalkan f(x) berderajat n maka f(x2) akan berderajat 2n.
x3f(x) akan berderajat n + 3.
• Jika n > 3 maka 2n > n + 3 sehingga f(x2) − x3f(x) akan berderajat 2n > 6. Jadi, tanda kesamaan tidak mungkin terjadi.
• Jika n = 3 maka f(x2) dan x3f(x) akan berderajat sama yaitu 6 sehingga masih dimungkinkan f(x2) − x3f(x) akan berderajat 3.
Jika f(x) = x3 − 2 maka f(x2) − x3f(x) = (x6 − 2) − x3(x3 − 2) = 2(x3 − 1) yang memenuhi.
• Jika n < 3 maka 2n < n + 3 sehingga f(x2) − x3f(x) akan berderajat n + 3. Karena ruas kanan berderajat 3 maka n = 0.
∴ Derajat f(x) adalah 3.
16. Banyaknya cara memilih 2 orang dari 20 orang = 20C2 = 190.
Banyaknya kemungkinan tanggal lahir dari 20 orang = 36520.
Peluang = 202203651347363364365⋅⋅⋅⋅⋅⋅LC
∴ Peluang dari soal = 20365!346!365190⋅⋅dengan tanda “!” menyatakan faktorial.
17. Ada dua kemungkinan jumlah ketiga bilangan tersebut genap
• Ketiga bilangan tersebut semuanya genap
Peluang = 1338167620062007200861002100310043200831004=⋅⋅⋅⋅=CC
• Ada satu bilangan genap dan dua lainnya ganjil 133850262006200720082100310041004320082100411004=⋅⋅⋅⋅=⋅CCC
Peluang jumlah ketiga bilangan tersebut genap = 13385021338167+
∴ Peluang jumlah ketiga bilangan tersebut genap = 21
18. ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐
10 = 4 + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐
⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐ = 6
Jelas bahwa 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ ⏐A⏐ sehingga 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ 4.
Jadi 6 ≤ ⏐B⏐ ≤ 10
Karena ⏐B⏐ bulat tak negatif maka ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 atau 10.
∴ ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 atau 10.
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008 Bagian Kedua
SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST
19. Misalkan ∠DAB = ∠ACD = α
ctg α = ADCDBDAD= 686CD= sehingga CD = 29
Luas segitiga ABC = ½ ⋅ (BD + CD) ⋅ AD = 275
∴ Luas segitiga ABC = 275
20. Dengan binom Newton didapat
()Σ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+=1004010042101004100410043310041004321004311004301004134kkkL
∴ = 2Σ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1004010043kkk2008.

Read More

aljabar

 BENTUK ALJABAR dan UNSUR-UNSURNYA

Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR 

 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

B. OPERASI HITUNG PADA ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan uraian berikut:

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut:

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut:

b. Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut:

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut:

Read More

Integral

Sebuah integral tertentu dari sebuah fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penting dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah
Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada diatas sumbu-x bernilai positif dan area dibawah sumbu-x bernilai negatif.
Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Mencari nilai integral

Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari:

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

Contoh soal:

Cari nilai dari:

Gunakan rumus di atas

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan

Contoh soal:

Cari nilai dari:

Cari nilai dari: dengan menggunakan substitusi

Masukkan nilai tersebut:

Nilai sin A adalah

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari:

Akan diperoleh dua persamaan yaitu dan

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil

Rumus integrasi dasar

Umum

Bilangan natural

Logaritma

Trigonometri

Read More